Edición N° 419 - Marzo 2018

Una demostración reducida del Teorema de Fermat

 

 

Un ingeniero suscriptor de la revista nos envió este material, explicándonos cómo llegó a sus manos y quién era Fermat.

“Por motivos comerciales, el señor Leplat llegó a Guayaquil en abril de 1872, donde falleció meses después dejando todas sus pertenencias personales a la señora Ana Meléndez, su casera, entre las cuales había un baúl que guardaba una hermosa agenda forrada en cuero. Este artículo con el paso de los años fue de mano en mano hasta que, en 1998, lo adquirió el propietario de una casa de antigüedades, quien dentro de la agenda encontró un vetusto papel con expresiones matemáticas. Al verlo, me lo entregó diciéndome: ‘a ver si entendés esto’. Ahora que descifré el contenido de la hoja quiero compartirla con todos”.

Pierre de Fermat era un abogado francés del siglo XVII, y fuerte aficionado a las matemáticas. Leyendo un problema en un antiguo libro, de un griego de nombre Diofanto, escribió en el borde del libro que había encontrado una solución pero como éste era muy estrecho, no cabía el resultado.

Tras esta breve reseña, el autor de este material, expresó: “Durante siglos nadie pudo demostrar el teorema, hasta que, en pleno siglo XX, un matemático angloestadounidense lo demostró con la ayuda de todo el bagaje matemático moderno. Una demostración inmensa, que sobrepasa en mucho todo lo que se sabía en la época de Fermat. Después, parece que ya hubo otras demostraciones, pero también muy largas. Esta que ofrezco pretende ser una de las primeras cortas que, casi podría entrar ‘en el margen de un libro’, a diferencia de la salvedad hecha por el abogado francés”.

 

Teorema de Fermat

Sean x, y, z y n números enteros, reales y positivos.

La expresión: xn= yn+ zn se cumple solamente para n=2.

 

Demostración

1°) Suponiendo que x, y y z pertenecen a una terna pitagórica, es decir: x2 = y2 + z2.

 

Siendo x2>y2 y x2>z2 luego; x>y y x>z    (1)

 

Escribiendo la expresión inicial de la forma:

 

xn-2.x2 = yn-2.y2+ zn-2.z2                        (2)

 

Dividiendo todo por: xn-2

 

x2=(y/x)n-2.y2+(z/x)n-2.z2                         (3)

 

La terna pitagórica: x2= y2+ z2 solamente será posible si (y/x)n-2 y (z/x)n-2 valen 1; luego n debe ser 2.

 

2°) x, y y z no corresponden a una terna pitagórica, es decir x2  y2+ z2

 

a) x2>y2+z2

 

Por lo que: x2-y2- z2>0

 

En la expresión (3) restando a ambos miembros -y2-z2 se tiene:

x2-y2-z2=(y/x)n-2.y2+(z/x)n-2.z2-y2-z2            (4)

 

pero x2-y2z2>0 luego; la expresión del segundo miembro debe ser también mayor a cero, es decir:

(y/x)n-2.y2+(z/x)n-2.z2-y2-z2>0

agrupando términos;

 

[(y/x)n-2-1]y2+[(z/x)n-2-1]z2>0   pero como  

x>y y x>los valores encerrados en ambos corchetes son negativos, por consiguiente la expresión es inválida. Y no hay ningún valor de n que pueda hacerla cumplir.

 

b) x2 < y2 + z2   (5)

pero siempre x>y y x>z, por (1)

 

de (3)      x2=(y/x)n-2.y2+(z/x)n-2.z2

 

para que se cumpla (5)  (y/x)n-2 y (z/x)n-2 deben ser ambas, o aunque sea una de ellas, mayor a 1. Lo cual es inválido por (1).

 

Fermat tenía razón

 

 

Revista

Ver ediciones anteriores

Suscribete

Y recibí cada mes la revista Mandu'a

Suscribirme ahora